図１のように電流源、電圧源および抵抗を接続した回路がある。図１の破線で囲まれた部分を図２の破線部分に示す抵抗 \(R\) と電圧源 \(E\) に等価変換すると、\(R=\fbox { 　（１）　 } \) Ω 、\(E=\fbox { 　（２）　 } \) V となる。

　図２から、抵抗 \(R_1\) に流れる電流 \(I_1\) を求めると、 \(I_1= \fbox { 　（３）　 } \) [A] となる。また、\(R_1\) で消費される電力 \(P\) は \(P={I_1}^2R_1\) で求められる。

　したがって、\(R_1=\fbox { 　（４）　 } \) Ω のときに電力 \(P\) は最大となり、\(P=\fbox { 　（５）　 } \) W となる。

（１）破線部分の等価抵抗 \(R\)

　電流源を電圧源に変換します。これらの等価変換は以下の式で表されます。

$$
\left \{
\begin{array}{ll}
V=r_iI \\[4px]
r_v=r_i
\end{array}
\right.
$$

したがって破線部分の等価変換回路は以下のようになり、等価抵抗 \(R\) は \(R=4Ω\) と求まります。

（２）破線部分の等価電圧源 \(E\)

　（１）の解説図より、\(E=16V\)と求まります。

（３）抵抗 \(R_1\) に流れる電流 \(I_1\)

　\(R_1\) より左側の回路にテブナンの定理を使って \(R_1\) に流れる電流 \(I_1\) を求めます。

　まず、等価抵抗 \(R_0\) を求めます。電圧源は短絡させて考えるので下の図のようになります。よって等価抵抗 \(R_0\) は、

$$ R_0=\frac{2×4}{2+4}=\frac{4}{3} $$

となります。

　次に、等価電圧源を求めます。下の図のような閉回路を考え、流れる電流を \(I_0\) としてキルヒホッフの法則を用いると、

$$ 4I_0+2I_0=16-4 $$

となり、\(I_0=2A\) と求められるので、等価電圧源 \(V_0\) は、

$$ V_0=16-4I_0=8 $$

となります。

したがって、求める電流 \(I_1\) は、

\begin{eqnarray}
I_1 &=& \frac{V_0}{R_0+R_1} \\[3px]
&=& \frac{ 8 }{ \frac{4}{3} + R_1 } \\[3px]
&=& \frac{24}{3R_1+4}
\end{eqnarray}

と求まります。

（４）最大消費電力となる \(R_1\)

　（３）で求めた \(I_1\) を \(P={I_1}^2R_1\) に代入すると、

\begin{eqnarray}
P &=& \left \{ \frac{24}{3R_1+4}\right \} ^2 R_1 \\[3px]
&=& \frac{24^2}{9{R_1}^2+24R_1+16} × R_1 \\[3px]
&=& \frac{24^2}{9R_1+24+\frac{16}{R_1}} \\[3px]
\end{eqnarray}

\(P\) が最大のとき \( 9R_1+\frac{16}{R_1} \) が最小になります。\( 9R_1 \) と \( \frac{16}{R_1} \) の積は \(9×16\) で一定となるので最小の定理より、

\begin{eqnarray}
9R_1 &=& \frac{16}{R_1} \\[3px]
{R_1}^2 &=& \frac{16}{9} \\[3px]
R_1 &=& \frac{4}{3}
\end{eqnarray}

と求まります。

　なお、一般に \(R_0=R_1\) のとき、消費電力 \(P\) は最大となります。

（５）最大消費電力

　（４）より \(R_1=\frac{4}{3}\) として計算すると、

\begin{eqnarray}
P &=& \left ( \frac{24}{3×\frac{4}{3}+4}\right ) ^2 × \frac{4}{3} \\[3px]
&=& \left ( \frac{24}{8}\right ) ^2 × \frac{4}{3} \\[3px]
&=& 9 × \frac{4}{3} \\[3px]
&=& 12.0
\end{eqnarray}

となります。