（１） 法線方向の光度 \(I_0\)

　輝度 \(L_θ\) は、法線となす角 \(θ\) 、観測方向の光度を \(I_θ\) 、光源の面積を \(S\) とすると、

$$ L_θ=\frac{I_θ}{S\cosθ} $$

で表されます。均等拡散面ではどの方向から見ても輝度が等しくなるので、法線方向の輝度と比較すると \(θ\) 方向の光度 \(I_θ\) は、

\begin{eqnarray}
L_0 &=& L_θ \\[7px]
\frac{I_0}{S}&=&\frac{I_θ}{S\cosθ} \\[7px]
I_0&=&\frac{I_θ}{\cosθ} \\[7px]
I_θ&=&I_0\cosθ \\[7px]
\end{eqnarray}

と求めることができます。

（２）円板光源の配光曲線

　\(I_θ=I_0\cosθ\) を配光曲線として図示すると、以下のようになります。

（３）全光束 \(F\)

　方向によって光度が変化する場合、積分によって全光束を求めます。

　微小立体角 \(dω\) における微小光束を \(dF\) とします。微小立体角 \(dω\) は、図の台形の面積に相当します。ここで、\(dθ\) が限りなく０に近い場合、台形の上底と下底は等しいと見なすことができます。よって、灰色の面積は長方形として計算できるので、半径 \(r=1\) に注意すると、

$$ dω=2π\sinθdθ $$

となります。よって、全光束 \(F\) は光束 \(I_θ\) との関係式 \( I_θ=\frac{dF}{dω}\) を用いて、

\begin{eqnarray}
F=\int dF = \int I_θdω &=& \int_0^{\frac{π}{2}} I_0cosθ×2π\sinθdθ \\[7px]
&=& πI_0\int_0^{\frac{π}{2}} 2\sinθ\cosθdθ \\[7px]
&=& πI_0\int_0^{\frac{π}{2}} \sin2θdθ \\[7px]
&=& πI_0 \left[ -\frac{1}{2}\cos2θ \right]_0^{\frac{π}{2}} \\[7px]
&=& πI_0 \left\{ \frac{1}{2}- \left(- \frac{1}{2} \right) \right\} \\[7px]
&=& πI_0 \\[7px]
\end{eqnarray}

と計算できます。

（４）点 A から円板光源の中心を見たときの輝度 \(L_θ\)

　法線となす角 \(θ\) の角度から見た円板光源の輝度 \(L_θ\) は、光度 \(I_θ=I_0\cosθ\) 、光源面積 \( S=πr^2\) を用いると、

\begin{eqnarray}
L_θ &=& \frac{I_θ}{S\cosθ} \\[7px]
&=& \frac{I_0\cosθ}{πr^2\cosθ} \\[7px]
&=& \frac{I_0}{πr^2} \\[7px]
\end{eqnarray}

となります。

（５）点 A における水平面照度 \(E_{θh}\)

　点 A における照度 \(E_θ\) は、逆二乗の法則より、

$$ E_θ=\frac{I_θ}{d^2} $$

よって、水平面照度 \(E_{θh}\) は、

\begin{eqnarray}
E_{θh} &=& E_θ\cosθ \\[7px]
&=& \frac{I_θ}{d^2}\cosθ \\[7px]
&=& \frac{I_0\cos^2θ}{d^2} \\[7px]
\end{eqnarray}