ブリッジ回路を用いたひずみ測定理論

2021年4月19日

問題

　図は、ひずみにより微小な抵抗変化を生じるひずみゲージを用いた測定回路である。このような抵抗の測定には、図のような $\fbox { 　（１）　 }$ ブリッジの原理が使用される。

　図において、直流電圧源を $E$ 、回路の電流を $I_1$ 、$I_2$ とする。ひずみがなく、ひずみゲージの固定抵抗 $R_1$ の変化 $ΔR_1$ が $ΔR_1=0$ の場合、ブリッジの出力電圧 $V_o$ を $R_1$ 、$R$ 、$E$ を用いて表すと、

$$ V_o = \fbox { 　（２）　 } \tag*{①}$$

となる。ただし、周囲温度の変化による各抵抗の変化は無視できるものとする。

　次に、ひずみが生じ、$R_1$ が $(R_1+ΔR_1)$ になった場合を考える。$R_1=R$ となるようなひずみゲージを選べば、①式より $V_o$ は

$$ V_o = \fbox { 　（３）　 } \tag*{②}$$

となる。ここで、通常、$R_1 \gg ΔR_1$ であることから、②式より $V_o$ は

$$ V_o ≒ \fbox { 　（４）　 } $$

となり、$ΔR_1$ に比例した電圧が得られる。

　したがって、$R_1=R=100Ω$ 、$E=2V$ であるとき、ある大きさのひずみにより、0.2%の抵抗増加が $R_1$ に生じたとすれば、$ \fbox { 　（５）　 } \ mV$ の出力電圧 $V_o$ が得られる。

　図のような回路はホイートストンブリッジ回路と呼ばれます。試験解答群の他選択肢回路構成は以下の図のようになります。

　下の図において出力電圧 $ V_o $ は、$ V_o= V_a-V_b $ で表せます。

$ V_a $ は分圧則より、

$$ V_a= \frac{R}{R+R}E = \frac{1}{2}E $$

となります。また、$ V_b $ は $ ΔR_1=0 $ なので、

$$ V_b= \frac{R}{R_1+R}E $$

となります。したがって、出力電圧 $ V_o $ は、

\begin{eqnarray}
V_o &=& V_a-V_b \\[3px]
&=& \frac{1}{2}E-\frac{R}{R_1+R}E \\[3px]
&=& \frac{R_1-R}{2(R_1+R)}E
\end{eqnarray}

と求まります。

　（２）と同様の手順で出力電圧 $ V_o $ を求めます。ひずみが発生しても $ V_a $ を求める回路は変化しないので、$ V_a=\frac{1}{2}E $ となります。$ V_b $ は $ R_1=R $ なので、

$$ V_b= \frac{R}{R+ΔR_1+R}E = \frac{R}{2R+ΔR_1}E $$

となります。したがって、出力電圧 $ V_o $ は、

\begin{eqnarray}
V_o &=& V_a-V_b \\[3px]
&=& \frac{1}{2}E-\frac{R}{2R+ΔR_1}E \\[3px]
&=& \frac{ΔR_1}{4R+2ΔR_1}E \tag{1}
\end{eqnarray}

と求まります。

　題意より、$ R_1 \gg ΔR_1 $ なので式$ (1) $ は、

$$ V_o = \frac{ΔR_1}{4R+2ΔR_1}E ≒ \frac{ΔR_1}{4R}E \tag{2}$$

と近似できます。

　題意より、$ R_1=R=100 \ Ω $ 、$ E=2V $ 、$ ΔR_1=0.002R_1=0.2 \ Ω $ なので出力電圧 $ V_o $ は式$ (2) $ より、

$$ V_o = \frac{0.2}{4×100}×2 = 1.0 \ mV $$

と求まります。